5

IFHTP

Có Nhiều Hơn là Sự Chặt Chẽ và Chứng Minh trong Toán Học

Leave a comment

 

I translated this article from Terry Tao’s blog post, “There’s more to mathematics than rigour and proofs”, since I found it to be very exhaustive, and yet very interesting and somewhat relevant to even other crafts.

___________________________________________________________________________________

 

Lịch sử của mọi nền văn minh trong vũ trụ đều đi qua ba giai đoạn tách biệt và dễ nhận dạng, bao gồm giai đoạn Sinh Tồn, Tự Vấn, và Vi Tế Hoá. Ví dụ, giai đoạn đầu được định hình bằng câu hỏi “Tại sao chúng ta ăn?”, giai đoạn thứ hai bằng  “Tại sao chúng ta lại ăn?” và giai đoạn thứ ba với câu hỏi, “Chúng ta sẽ ăn trưa ở đâu?”

(Douglas Adams, “The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy” [0])

 

Trong toán học, ta có thể chia việc học toán thành ba giai đoạn:

  1. Giai đoạn “tiền-nghiêm ngặt”, khi mà môn toán được dạy một cách trực quan, cảm tính, và phi chính quy, dựa trên các ví dụ, các khái niệm mập mờ, và những tuyên bố ra vẻ [1] (Ví dụ, bộ môn giải tích thường được giới thiệu qua các khái niệm như độ dốc, diện tích, độ thay đổi, vv. ) Cái được nhấn mạnh ở đây là việc tính toán hơn là lý thuyết. Giai đoạn này thường tồn tại cho đến những năm đầu của toán đại học.
  2. Giai đoạn “nghiêm ngặt”,  khi mà một người học trò giờ được học rằng để làm toán một cách “chính thống”, người đó cần làm việc và suy nghĩ theo một phương cách tỉ mẩn và chính quy hơn rất nhiều (ví dụ, xây dựng lại giải tích qua epsilons và deltas ở mọi nơi). Điểm nhấn bây giờ là lý thuyết, và một người học trò xác định là phải có thể vận dụng các đối tượng toán học một cách thoải mái mà không tập trung quá nhiều vào việc những đối tượng này thực sự mang “ý nghĩa” gì. Giai đoạn này thường bao trùm những năm cuối của bậc đại học và những năm đầu của sinh viên năm cuối đại học/ nghiên cứu sinh năm đầu.
  3. Giai đoạn “hậu nghiêm ngặt”, khi mà ngừoi học trò đã trở nên hoàn toàn thoải mái với các nền tảng chặt chẽ trong phân ngành toán học mà người đó đã chọn, và bây giờ đã sẵn sàng để quay lại và hoàn thiện các cảm tính từ giai đoạn tiền nghiêm ngặt về chủ đề toán, nhưng làn này với các cảm tính này hoàn toàn gắn chặt với lý thuyết chặt chẽ. (ví dụ, trong giai đoạn này người học có thể rất nhanh chóng và chính xác tính ra các vectơ giải tích bằng cách sử dụng các phép so sánh với giải tích vô hướng, hoặc việc sử dụng một cách không chính quy hoặc bán nghiêm ngặt các khái niệm vi phân, kí hiệu O lớn, và hơn nữa, và chuyển hoá tất cả những tính toán này thành một lời giải chặt chẽ bất cứ khi nào cần thiết.) Điểm nhấn ở đây là việc ứng dụng, sự cảm tính, và “bức tranh toàn cảnh”.

Việc chuyển giao từ giai đoạn một sang giai đoạn hai được coi là gây nhiều chấn thương tâm lý, với các “bài tập chứng minh” là nỗi sợ hãi của nhiều sinh viên ngành toán. (Đọc thêm “Có nhiều hơn là điểm số và thi cử và các phương pháp trong toán học“.) Nhưng việc chuyển giao từ giai đoạn hai sang ba cũng quan trọng không kém, và không nên bị bỏ qua.

Dĩ nhiên rằng việc bạn biết suy nghĩ một cách chặt chẽ là cực kỳ quan trọng, vì điều này cho bạn sự kỉ luật để đỡ gặp phải rất nhiều các lỗi sai thông thường, và xoá bỏ vô số các quan niệm sai lầm. Đang tiếc là việc này cũng có một hậu quả vô tình là các lối suy nghĩ “mập mờ” hoặc “cảm tính (ví dụ như các lý luận mang tính suy tưởng, các liên tưởng khéo léo từ các ví dụ, hoặc phép so sánh với các bối cảnh khác như vật lý) thường bị coi là “phi-chặt chẽ”. Quá thường xuyên một người học trò sẽ kết thúc bằng việc từ bỏ cảm tính ban đầu của mình và chỉ có thể tải được toán học ở mức độ chính thống, và vì vậy bị chững lại ở giai đoạn thứ hai của việc học toán của mình. (Trong những hậu quả khác, điều này còn ảnh hưởng đến khả năng đọc các bài nghiên cứu toán học, một đầu óc quá tỉ mẩn sẽ dẫn đến các lỗi phức tạp hoá khi gặp một lỗi đánh máy hoặc một điểm không rõ ràng trong bài nghiên cứu nêu trên.]

Ý nghĩa của sự nghiêm ngặt không nằm trong việc tiêu diệt toàn bộ cảm tính; thay vào đó, nó nên được sử dụng để tiêu diệt các cảm tính xấu và đồng thời làm rõ và nâng cao các cảm tính tốt. Chỉ với sự phối hợp giữa sự định nghĩa chặt chẽ và cảm tính tốt thì một nhà nghiên cứu mới có thể tấn công các bài toán phức tạp; người này cần cái thứ nhất để có thể giải quyết các chi tiết tinh tế, và cần cái sau để có thể xử lý được bức tranh toàn cục của vấn đề. Chỉ thiếu một trong hai điều trên, bạn sẽ bỏ rất nhiều thời gian mò mẫm trong bóng tối (điều này có thể hữu ích, nhưng cực kỳ không hiệu quả). Thế nên khi bạn đã hoàn toàn thoải mái với suy luận toán học chặt chẽ, bạn nên thăm lại các cảm tính của mình thay vì vứt bỏ chúng. Một cách để làm điều này là tự hỏi bản thân các câu hỏi ngớ ngẩn; một cách khác là học lại phân ngành của bạn.

Trạng thái lý tưởng để hướng tới là khi mọi lý luận mang tính suy tưởng sẽ một cách tự nhiên dẫn đến lý luận nghiêm ngặt tương đương, và ngược lại. Và lúc này bạn sẽ có thể tấn công các bài toán bằng cả hai nửa cầu não của mình cũng một lúc – tức là giống hệt cách bạn giải quyết các vấn đề trong “đời thật”.

Đọc thêm:

Viết thêm: Có lẽ sẽ đáng chú ý là việc các nhà toán học ở cả ba giai đoạn phát triển nêu trên đều có thể có các lỗi sai chính thức trong các bài báo nghiên cứu của họ. Tuy nhiên, bản chất của những lỗi này thường sẽ khác nhau, tuỳ theo người sai phạm đang ở giai đoạn nào.

  1. Những người làm toán ở giai đoạn tiền nghiêm ngặt thường có các lỗi sai vì họ không hiểu lý thuyết toán học chặt chẽ hoạt động như thế nào, và thường áp dụng các quy luật hoặc suy luận chặt chẽ một cách mù quáng. Thường có thể sẽ rất khó để những người làm toán này tự sửa các lỗi của họ, kể cả khi các lỗi đó được chỉ ra với họ.
  2. Những người làm toán ở giai đoạn nghiêm ngặt vẫn có thể có các lỗi sai chính quy vì họ vẫn chưa hoàn thiện được việc thấu hiểu chính thức, hoặc chưa đủ khả năng để làm các kiểm chứng nhanh [2] với các cảm tính hoặc các lỗi nguyên tắc chung khác, ví dụ như nhầm dấu, hoặc thất bại trong việc kiểm chứng một giả thiết quan trọng trong một công cụ nào đó. Tuy nhiên, các lỗi này thường có thể được phát hiện dễ dàng (và thường được sửa lại) ngay khi chúng được chỉ ra.
  3. Những người làm toán ở giai đoạn hậu nghiêm ngặt cũng không phải không bao giờ sai được, và vẫn có khả năng phạm các lỗi chính quy trong viết lách. Nhưng điều này thường là vì họ không còn cần đến sự chính quy để có thể lý luận toán học cấp độ cao, và trên thực tế là họ tiến bước phần nhiều dựa vào cảm tính, và sau đó được viết lại (có thể là một cách sai lầm) bằng ngôn ngữ toán học.

Sự khác biệt giữa ba loại lỗi có thể dẫn đến hiện tượng (có thể là khá gây bối rối cho người mới học toán) một lập luận toán học của một nhà toán học mà ở mức cục bộ thì có một số các lỗi đánh máy và các lỗi lập luận chính quy, nhưng ở mức khái quát thì lại khá hợp lý. (Ngược lại, khi không được kiểm chứng bởi một cảm tính rõ ràng, một khi lỗi sai được đưa vào một lập luận của người làm toán ở mức tiền-nghiêm ngặt hoặc nghiêm ngặt, có nhiều khả năng để lỗi sai này lan rộng không kiểm soát đến khi người đó kết thúc với một lời giải hoàn toàn vô lý. ) Đọc bài này để xem thêm các bàn luận về những lỗi kiểu này, và cách để đọc các bài báo để bù lại những lỗi sai này.

_____________________________________

[0] Link này mình tự add, đến bản dịch tiếng Việt

[1] hand-waving: có lẽ dịch chưa sát lắm, nhưng hand-waving ám chỉ việc sử dụng các khái niệm và kí hiệu mà không cần định nghĩa một cách quá rõ ràng, và giải quyết các bài toán bằng những công cụ này. Ở mức trước đại học, việc này hiệu quả và tiết kiệm thời gian hơn, vì học sinh không phải ở trong quá nhiều các định nghĩa rối rắm, và có thành những vấn đề đau đầu rất nhanh chóng. Bất kì ai từng trải qua bộ môn giải tích, và phải chứng minh giới hạn qua epsilon-delta có lẽ sẽ hiểu điều này ở chừng mực nào đó.

[2] sanity check: dịch cứng, “kiểm tra độ tỉnh táo”, là một kiểu nhẩm lại/ kiểm tra độ logic/ chính xác của lập luận/ tính toán. Mục đích của kiểm tra ở đây để loại một vài kiểu sai dễ thấy, không phải liệt kê tất cả các lỗi sai có thể.

Advertisements

Author: oligothoughts

poetic hermit

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s